2004. november 22.

1. Számítsuk ki:
   1. $(2+i)^7+(2-i)^7$
   2. $\frac{a+bi}{a-bi}$
   3. $\frac{(1+i)^9}{(1-i)^7}$
   4. $(a+b)(a+b\omega)(a+b\omega^2)$ ahol $\omega=-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}$
   5. $\sqrt{-8i}$
2. Hozzuk egyszerubb alakra: $(\sqrt{3}-i)^n$
3. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket:
   1. $z^2+3=0$
   2. $z^2-5+12i=0$
   3. $z^4-3z^2-1=0$
   4. $z+\overline{z}=2z$
   5. $\overline{z}=z^{2004}$
4. Mi $\vert z\vert$, $\vert z_1-z_2\vert$, $iz$ geometriai jelentése? Milyen számokat kapunk ha az $a+bi$ számnak megfelelő pontot tükrözzük
   1. a valós tengelyre;
   2. a képzetes tengelyre;
   3. az $y=x$ egyenletű egyenesre?
5. Mi azon $z$ komplex számok mértani helye, melyekre
   1. $\vert z\vert=1$;
   2. $\mathrm{Re}(z+icos\vert z\vert)=2$;
   3. $(\mathrm{Re}(z))^2<4$;
   4. $\mathrm{Im}(z^2)=2$.
6. Adjuk meg $1+i$, $\sqrt{3}-i$, valamint $\sin\alpha -i\cos\alpha$ trigonometrikus alakját.
7. Mik lesznek egy egységgyök hatványai?
8. Jelölje $e_0,e_1,\ldots e_{n-1}$ az $n$-ik komplex egységyököket. Kiszámítandó $\sum_{i=0}^{n-1}e_i$ és $\prod_{i=0}^{n-1}e_i$.
9. Van-e a kilencedik egységgyökök között pontosan hat, melyek öszege 0? És hét?
10. Bizonyítsuk be, hogy az 1995-ik egységgyökök között van 876, melyek öszege 0.
11. A $z$ komplex számra $1+z+z^2=0$. Igazoljuk, hogy $z^{65}+z^{-65}=i^{66}$.
12. Mi a mértani helye a komplex számsíkon a $\frac{1+ti}{1-ti}$ alakú számoknak, ha $t$ befutja a valós számok halmazát? Ugyanez a kérdés $\frac{1+ti}{t+i}$-vel?
13. Igazoljuk, hogy ha $z+\frac{1}{z}=2\cos\theta$, akkor $z^m+\frac{1}{z^m}=2\cos m\theta.$
14. Fejezzük ki $\cos\alpha$ és $\sin\alpha$ segítségével $\cos n\alpha$-t.

15. Adjunk zárt alakot:
    1. $1-{n\choose 2}+{n\choose 4}-{n\choose 6}+\ldots$
    2. ${n\choose 1}-{n\choose 3}+{n\choose 5}-{n\choose 7}+\ldots$

16. Legyen $\varepsilon$ egy $2n$-edik primitív egységgyök. Számítsuk ki: $1+\varepsilon+\varepsilon^2+\ldots+\varepsilon^n$-t.